ПОЯСНИТЕЛЬНАЯ ЗАПИСКА
В современном цифровом мире вероятность и статистика приобретают
всё большую значимость, как с точки зрения практических приложений, так
и их роли в образовании, необходимом каждому человеку. Возрастает число
профессий, при овладении которыми требуется хорошая базовая подготовка
в области вероятности и статистики, такая подготовка важна для
продолжения образования и для успешной профессиональной карьеры.
Каждый человек постоянно принимает решения на основе имеющихся у
него данных. А для обоснованного принятия решения в условиях недостатка
или избытка информации необходимо в том числе хорошо сформированное
вероятностное и статистическое мышление.
Именно поэтому остро встала необходимость сформировать у
обучающихся функциональную грамотность, включающую в себя в качестве
неотъемлемой составляющей умение воспринимать и критически
анализировать информацию, представленную в различных формах, понимать
вероятностный характер многих реальных процессов и зависимостей,
производить простейшие вероятностные расчёты.
Знакомство в учебном курсе с основными принципами сбора, анализа и
представления данных из различных сфер жизни общества и государства
приобщает обучающихся к общественным интересам. Изучение основ
комбинаторики развивает навыки организации перебора и подсчёта числа
вариантов, в том числе в прикладных задачах. Знакомство с основами теории
графов создаёт математический фундамент для формирования компетенций в
области информатики и цифровых технологий. При изучении статистики и
вероятности обогащаются представления обучающихся о современной
картине мира и методах его исследования, формируется понимание роли
статистики как источника социально значимой информации и закладываются
основы вероятностного мышления.
В соответствии с данными целями в структуре программы учебного
курса «Вероятность и статистика» основного общего образования выделены
следующие содержательно-методические линии: «Представление данных и
описательная статистика», «Вероятность», «Элементы комбинаторики»,
«Введение в теорию графов».
Содержание линии «Представление данных и описательная статистика»
служит основой для формирования навыков работы с информацией: от
чтения и интерпретации информации, представленной в таблицах, на
диаграммах и графиках, до сбора, представления и анализа данных с
использованием статистических характеристик средних и рассеивания.
Работая с данными, обучающиеся учатся считывать и интерпретировать

данные, выдвигать, аргументировать и критиковать простейшие гипотезы,
размышлять над факторами, вызывающими изменчивость, и оценивать их
влияние на рассматриваемые величины и процессы.
Интуитивное представление о случайной изменчивости, исследование
закономерностей и тенденций становится мотивирующей основой для
изучения теории вероятностей. Большое значение имеют практические
задания, в частности опыты с классическими вероятностными моделями.
Понятие вероятности вводится как мера правдоподобия случайного
события. При изучении учебного курса обучающиеся знакомятся с
простейшими методами вычисления вероятностей в случайных
экспериментах
с
равновозможными
элементарными
исходами,
вероятностными законами, позволяющими ставить и решать более сложные
задачи. В учебный курс входят начальные представления о случайных
величинах и их числовых характеристиках.
В рамках учебного курса осуществляется знакомство обучающихся с
множествами и основными операциями над множествами, рассматриваются
примеры применения для решения задач, а также использования в других
математических курсах и учебных предметах.

СОДЕРЖАНИЕ ОБУЧЕНИЯ
8 КЛАСС
Представление данных в виде таблиц, диаграмм, графиков. Заполнение
таблиц, чтение и построение диаграмм (столбиковых (столбчатых) и
круговых). Чтение графиков реальных процессов. Извлечение информации из
диаграмм и таблиц, использование и интерпретация данных.
Описательная статистика: среднее арифметическое, медиана, размах,
наибольшее и наименьшее значения набора числовых данных. Примеры
случайной изменчивости.
Случайный эксперимент (опыт) и случайное событие. Вероятность и
частота. Роль маловероятных и практически достоверных событий в природе
и в обществе. Монета и игральная кость в теории вероятностей.
Граф, вершина, ребро. Степень вершины. Число рёбер и суммарная
степень вершин. Представление о связности графа. Цепи и циклы. Пути в
графах. Обход графа (эйлеров путь). Представление об ориентированном
графе. Решение задач с помощью графов.

ПЛАНИРУЕМЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ ОСВОЕНИЯ ПРОГРАММЫ
ЛИЧНОСТНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ
Личностные результаты освоения программы учебного курса
«Вероятность и статистика» характеризуются:
1) патриотическое воспитание:
проявлением интереса к прошлому и настоящему российской
математики, ценностным отношением к достижениям российских
математиков и российской математической школы, к использованию этих
достижений в других науках и прикладных сферах;
2) гражданское и духовно-нравственное воспитание:
готовностью к выполнению обязанностей гражданина и реализации его
прав, представлением о математических основах функционирования
различных структур, явлений, процедур гражданского общества (например,
выборы, опросы), готовностью к обсуждению этических проблем, связанных
с практическим применением достижений науки, осознанием важности
морально-этических принципов в деятельности учёного;
3) трудовое воспитание:
установкой на активное участие в решении практических задач
математической направленности, осознанием важности математического
образования на протяжении всей жизни для успешной профессиональной
деятельности и развитием необходимых умений, осознанным выбором и
построением индивидуальной траектории образования и жизненных планов с
учётом личных интересов и общественных потребностей;
4) эстетическое воспитание:
способностью к эмоциональному и эстетическому восприятию
математических объектов, задач, решений, рассуждений, умению видеть
математические закономерности в искусстве;
5) ценности научного познания:
ориентацией в деятельности на современную систему научных
представлений об основных закономерностях развития человека, природы и
общества, пониманием математической науки как сферы человеческой
деятельности, этапов её развития и значимости для развития цивилизации,
овладением языком математики и математической культурой как средством
познания мира, овладением простейшими навыками исследовательской
деятельности;
6) физическое воспитание, формирование культуры здоровья и
эмоционального благополучия:

готовностью применять математические знания в интересах своего
здоровья, ведения здорового образа жизни (здоровое питание,
сбалансированный режим занятий и отдыха, регулярная физическая
активность), сформированностью навыка рефлексии, признанием своего
права на ошибку и такого же права другого человека;
7) экологическое воспитание:
ориентацией на применение математических знаний для решения задач
в области сохранности окружающей среды, планирования поступков и
оценки их возможных последствий для окружающей среды, осознанием
глобального характера экологических проблем и путей их решения;
8) адаптация к изменяющимся условиям социальной и природной
среды:
готовностью к действиям в условиях неопределённости, повышению
уровня своей компетентности через практическую деятельность, в том числе
умение учиться у других людей, приобретать в совместной деятельности
новые знания, навыки и компетенции из опыта других;
необходимостью в формировании новых знаний, в том числе
формулировать идеи, понятия, гипотезы об объектах и явлениях, в том числе
ранее неизвестных, осознавать дефициты собственных знаний и
компетентностей, планировать своё развитие;
способностью осознавать стрессовую ситуацию, воспринимать
стрессовую ситуацию как вызов, требующий контрмер, корректировать
принимаемые решения и действия, формулировать и оценивать риски и
последствия, формировать опыт.
МЕТАПРЕДМЕТНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ
Познавательные универсальные учебные действия
Базовые логические действия:
 выявлять и характеризовать существенные признаки математических
объектов, понятий, отношений между понятиями, формулировать
определения понятий, устанавливать существенный признак
классификации, основания для обобщения и сравнения, критерии
проводимого анализа;
 воспринимать,
формулировать и преобразовывать суждения:
утвердительные и отрицательные, единичные, частные и общие,
условные;
 выявлять
математические
закономерности,
взаимосвязи
и
противоречия в фактах, данных, наблюдениях и утверждениях,
предлагать критерии для выявления закономерностей и противоречий;

делать выводы с использованием законов логики, дедуктивных и
индуктивных умозаключений, умозаключений по аналогии;
 разбирать доказательства математических утверждений (прямые и от
противного), проводить самостоятельно несложные доказательства
математических фактов, выстраивать аргументацию, приводить
примеры и контрпримеры, обосновывать собственные рассуждения;
 выбирать способ решения учебной задачи (сравнивать несколько
вариантов решения, выбирать наиболее подходящий с учётом
самостоятельно выделенных критериев).
Базовые исследовательские действия:
 использовать вопросы как исследовательский инструмент познания,
формулировать вопросы, фиксирующие противоречие, проблему,
самостоятельно устанавливать искомое и данное, формировать
гипотезу, аргументировать свою позицию, мнение;
 проводить по самостоятельно составленному плану несложный
эксперимент, небольшое исследование по установлению особенностей
математического объекта, зависимостей объектов между собой;
 самостоятельно формулировать обобщения и выводы по результатам
проведённого наблюдения, исследования, оценивать достоверность
полученных результатов, выводов и обобщений;
 прогнозировать возможное развитие процесса, а также выдвигать
предположения о его развитии в новых условиях.
Работа с информацией:
 выявлять недостаточность и избыточность информации, данных,
необходимых для решения задачи;
 выбирать, анализировать, систематизировать и интерпретировать
информацию различных видов и форм представления;
 выбирать форму представления информации и иллюстрировать
решаемые задачи схемами, диаграммами, иной графикой и их
комбинациями;
 оценивать надёжность информации по критериям, предложенным
учителем или сформулированным самостоятельно.
Коммуникативные универсальные учебные действия:
 воспринимать и формулировать суждения в соответствии с условиями
и целями общения, ясно, точно, грамотно выражать свою точку зрения
в устных и письменных текстах, давать пояснения по ходу решения
задачи, комментировать полученный результат;
 в ходе обсуждения задавать вопросы по существу обсуждаемой темы,
проблемы, решаемой задачи, высказывать идеи, нацеленные на поиск









решения, сопоставлять свои суждения с суждениями других
участников диалога, обнаруживать различие и сходство позиций, в
корректной форме формулировать разногласия, свои возражения;
представлять
результаты
решения
задачи,
эксперимента,
исследования, проекта, самостоятельно выбирать формат выступления
с учётом задач презентации и особенностей аудитории;
понимать и использовать преимущества командной и индивидуальной
работы при решении учебных математических задач;
принимать цель совместной деятельности, планировать организацию
совместной работы, распределять виды работ, договариваться,
обсуждать процесс и результат работы, обобщать мнения нескольких
людей;
участвовать в групповых формах работы (обсуждения, обмен
мнениями, мозговые штурмы и другие), выполнять свою часть работы
и координировать свои действия с другими членами команды,
оценивать качество своего вклада в общий продукт по критериям,
сформулированным участниками взаимодействия.

Регулятивные универсальные учебные действия
Самоорганизация:
 самостоятельно составлять план, алгоритм решения задачи (или его
часть), выбирать способ решения с учётом имеющихся ресурсов и
собственных возможностей, аргументировать и корректировать
варианты решений с учётом новой информации.
Самоконтроль, эмоциональный интеллект:
 владеть способами самопроверки, самоконтроля процесса и результата
решения математической задачи;
 предвидеть трудности, которые могут возникнуть при решении задачи,
вносить коррективы в деятельность на основе новых обстоятельств,
найденных ошибок, выявленных трудностей;
 оценивать соответствие результата деятельности поставленной цели и
условиям, объяснять причины достижения или недостижения цели,
находить ошибку, давать оценку приобретённому опыту.
ПРЕДМЕТНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ
К концу обучения в 8 классе обучающийся получит следующие
предметные результаты:

Читать информацию, представленную в таблицах, на диаграммах,
представлять данные в виде таблиц, строить диаграммы (столбиковые
(столбчатые) и круговые) по массивам значений.
Описывать и интерпретировать реальные числовые данные,
представленные в таблицах, на диаграммах, графиках.
Использовать для описания данных статистические характеристики:
среднее арифметическое, медиана, наибольшее и наименьшее значения,
размах.
Иметь представление о случайной изменчивости на примерах цен,
физических величин, антропометрических данных, иметь представление о
статистической устойчивости.

ТЕМАТИЧЕСКОЕ ПЛАНИРОВАНИЕ
8 КЛАСС
№
п/п

Наименование
разделов и тем
программы

Количест
во часов

Основное содержание
Представление данных в таблицах.
Практические вычисления по
табличным данным. Извлечение и
интерпретация табличных данных.
Практическая работа «Таблицы».

1

Представление
данных

7

Графическое представление данных
в виде круговых, столбиковых
(столбчатых) диаграмм. Чтение и
построение диаграмм. Примеры
демографических диаграмм.
Практическая работа «Диаграммы»

Описательная
статистика

8

Осваивать
способы
представления
статистических данных и числовых массивов с
помощью таблиц и диаграмм с использованием
актуальных
и
важных
данных
(демографические
данные,
производство
промышленной
и
сельскохозяйственной
продукции, общественные и природные
явления).
Изучать методы работы с табличными и
графическими представлениями данных с
помощью цифровых ресурсов в ходе
практических работ

Осваивать понятия: числовой набор, мера
центральной тенденции (мера центра), в том числе
среднее арифметическое, медиана.
Описывать статистические данные с помощью
Медиана числового набора.
среднего арифметического и медианы. Решать
Устойчивость медианы.
задачи.
Практическая работа «Средние
Изучать свойства средних, в том числе с
значения».
помощью цифровых ресурсов, в ходе
Наибольшее и наименьшее значения практических работ.
Осваивать понятия: наибольшее и наименьшее
числового набора. Размах
значения числового массива, размах.
Числовые наборы. Среднее
арифметическое.

2

Основные виды деятельности обучающихся

Решать задачи на выбор способа описания
данных в соответствии с природой данных и
целями исследования

3

Случайная
изменчивость

4

Введение в
теорию графов

5

Вероятность и
частота
случайного
события

Случайная изменчивость
(примеры). Частота значений в
массиве данных. Группировка.
Гистограммы.
6

4

4

Осваивать понятия: частота значений в массиве
данных, группировка данных, гистограмма.
Строить и анализировать гистограммы,
подбирать

Граф, вершина, ребро.
Представление задачи с помощью
графа. Степень (валентность)
вершины. Число рёбер и суммарная
степень вершин. Цепь и цикл. Путь
в графе. Представление о связности
графа. Обход графа (эйлеров путь).
Представление об ориентированных
графах

подходящий шаг группировки.
Осваивать графические представления разных
видов случайной изменчивости, в том числе с
помощью цифровых ресурсов, в ходе
практической работы
Осваивать понятия: граф, вершина графа, ребро
графа, степень (валентность вершины), цепь и
цикл.
Осваивать понятия: путь в графе, эйлеров путь,
обход графа, ориентированный граф.
Решать задачи на поиск суммы степеней вершин
графа, на поиск обхода графа, на поиск путей в
ориентированных графах.
Осваивать способы представления задач из курса
алгебры, геометрии, теории вероятностей, других
предметов с помощью графов (карты, схемы,
электрические цепи, функциональные
соответствия) на примерах.

Случайный опыт и случайное
событие. Вероятность и частота
события. Роль маловероятных и
практически достоверных событий

Осваивать понятия: случайный опыт и
случайное событие, маловероятное и практически
достоверное событие.
Изучать значимость маловероятных событий в

Практическая работа «Случайная
изменчивость»

в природе и в обществе. Монета и
игральная кость в теории
вероятностей.
Практическая работа «Частота
выпадения орла»

6

Обобщение,
систематизация
знаний

ОБЩЕЕ
КОЛИЧЕСТВО
ЧАСОВ ПО
ПРОГРАММЕ

Представление данных.
Описательная статистика.
Вероятность случайного события
5

34

природе и обществе на важных примерах (аварии,
несчастные случаи, защита персональной
информации, передача данных).
Изучать роль классических вероятностных
моделей (монета, игральная кость) в теории
вероятностей.
Наблюдать и изучать частоту событий в простых
экспериментах, в том числе с помощью цифровых
ресурсов, в ходе практической работы.
Повторять изученное и выстраивать систему
знаний.
Решать задачи на представление и описание
данных с помощью изученных характеристик.
Обсуждать примеры случайных событий,
маловероятных и практически достоверных
случайных событий, их роли в природе и жизни
человека.

ПОУРОЧНОЕ ПЛАНИРОВАНИЕ
8 КЛАСС
№ п/п

Тема урока

Количество
часов

Дата
изучения

Электронные цифровые образовательные
ресурсы

1

Представление данных в таблицах

1

06.09.23

Библиотека ЦОК https://m.edsoo.ru/863ec1f8

2

Практические вычисления по
табличным данным

1

13.09.23

Библиотека ЦОК https://m.edsoo.ru/863ec324

3

Извлечение и интерпретация
табличных данных

1

20.09.23

Библиотека ЦОК https://m.edsoo.ru/863ec78e

4

Практическая работа "Таблицы"

1

27.09.23

5

Графическое представление данных в
виде круговых, столбиковых
(столбчатых) диаграмм

1

04.10.23

Библиотека ЦОК https://m.edsoo.ru/863ed18e

6

Чтение и построение диаграмм.
Примеры демографических диаграмм

1

11.10.23

Библиотека ЦОК https://m.edsoo.ru/863ed602

7

Практическая работа "Диаграммы"

1

18.10.23

Библиотека ЦОК https://m.edsoo.ru/863ed72e

8

Числовые наборы. Среднее
арифметическое

1

25.10.23

Библиотека ЦОК https://m.edsoo.ru/863ed846

9

Числовые наборы. Среднее
арифметическое

1

08.11.23

Библиотека ЦОК https://m.edsoo.ru/863ed846

10

Медиана числового набора.
Устойчивость медианы

1

15.11.23

Библиотека ЦОК https://m.edsoo.ru/863edb3e

11

Медиана числового набора.
Устойчивость медианы

1

22.11.23

12

Практическая работа "Средние

1

29.11.23

Библиотека ЦОК https://m.edsoo.ru/863edc6a

значения"
13

Наибольшее и наименьшее значения
числового набора. Размах

1

06.12.23

14

Наибольшее и наименьшее значения
числового набора. Размах

1

13.12.23

15

Наибольшее и наименьшее значения
числового набора. Размах

1

20.12.23

16

Представление данных. Описательная
статистика

1

27.12.23

Библиотека ЦОК https://m.edsoo.ru/863ee390

17

Случайная изменчивость (примеры)

1

10.01.24

Библиотека ЦОК https://m.edsoo.ru/863ee4bc

18

Частота значений в массиве данных

1

17.01.24

Библиотека ЦОК https://m.edsoo.ru/863ee69c

19

Группировка

1

24.01.24

Библиотека ЦОК https://m.edsoo.ru/863ee9d0

20

Гистограммы

1

31.01.24

21

Гистограммы

1

07.02.24.

Библиотека ЦОК https://m.edsoo.ru/863eee1c

22

Практическая работа "Случайная
изменчивость"

1

14.02.24

Библиотека ЦОК https://m.edsoo.ru/863eecc8

23

Граф, вершина, ребро. Представление
задачи с помощью графа

1

21.02.24

Библиотека ЦОК https://m.edsoo.ru/863eef52

24

Степень (валентность) вершины. Число
рёбер и суммарная степень вершин.
Цепь и цикл

1

28.02.24

Библиотека ЦОК https://m.edsoo.ru/863ef0ba

25

Цепь и цикл. Путь в графе.
Представление о связности графа

1

06.03.24

Библиотека ЦОК https://m.edsoo.ru/863ef236

26

Представление об ориентированных
графах

1

13.03.24

Библиотека ЦОК https://m.edsoo.ru/863ef3b2

27

Случайный опыт и случайное событие

1

20.03.24

Библиотека ЦОК https://m.edsoo.ru/863ef4d4

28

Вероятность и частота события. Роль

1

03.04.24

Библиотека ЦОК https://m.edsoo.ru/863ef646

Библиотека ЦОК https://m.edsoo.ru/863ee07a

маловероятных и практически
достоверных событий в природе и в
обществе
29

Монета и игральная кость в теории
вероятностей

1

10.04.24

30

Практическая работа "Частота
выпадения орла"

1

17.04.24

Библиотека ЦОК https://m.edsoo.ru/863ef8a8

31

Случайная изменчивость. Графы.
Вероятность случайного события

1

24.04.24

Библиотека ЦОК https://m.edsoo.ru/863f0186

32

Повторение, обобщение.
Представление данных

1

08.05.24

Библиотека ЦОК https://m.edsoo.ru/863efa24

33

Повторение, обобщение. Описательная
статистика

1

15.05.24

Библиотека ЦОК https://m.edsoo.ru/863efbaa

34

Повторение, обобщение. Вероятность
случайного события

1

22.05.24

Библиотека ЦОК https://m.edsoo.ru/863efec0

ОБЩЕЕ КОЛИЧЕСТВО ЧАСОВ ПО ПРОГРАММЕ

34

УЧЕБНО-МЕТОДИЧЕСКОЕ ОБЕСПЕЧЕНИЕ
ОБРАЗОВАТЕЛЬНОГО ПРОЦЕССА
ОБЯЗАТЕЛЬНЫЕ УЧЕБНЫЕ МАТЕРИАЛЫ ДЛЯ УЧЕНИКА
Математика. Вероятность и статистика: 7-9классы: базовый уровень:
учебник: в 2 частях / И.Р.Высоцкий, И.В.Ященко; под ред.
И.В.Ященко. – Москва: Просвещение, 2023.
Рабочая тетрадь. Задачник.
МЕТОДИЧЕСКИЕ МАТЕРИАЛЫ ДЛЯ УЧИТЕЛЯ
Методическое пособие к предметной линии учебников по вероятности и
статистике И.Р.Высоцкого, И.В.Ященко под редакцией И.В.Ященко.
https://ptlab.mccme.ru/vertical

ЦИФРОВЫЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНЫЕ РЕСУРСЫ И РЕСУРСЫ СЕТИ
ИНТЕРНЕТ
https://urok.1sept.ru/articles/582818
http://alfusja-bahova.ucoz.ru/load/7_klass/4-32
https://www.mathedu.ru/text/bunimovich_bulychev_osnovy_statistiki_i_veroyatn
ost_5- 11_2008/p0/
https://education.yandex.ru
/https://uchi.ru/
https://www.yaklass.ru/
https://math-ge.sdamgia.ru/
https://edu.skysmart.ru/
https://resh.edu.ru

ЦОС Моя Школа (myschool.edu.ru)